几乎自守随机过程及其在随机发展方程中的应用

The well-posedness and stability of ergodic solutions is closely related to the global dynamics of the investigated systems and has become a fundamental and very important subject in the qualitative theory of differential equations and dynamical systems. This project aims to study the existence, uniqueness and stability of ergodic solutions to stochastic evolution equations driven by Brownian motion by using evolution semigroups theory and stochastic exponential dichotomy as well as stochastic analysis techniques. We plan to study the following three major problems: firstly, develop the theory concerning almost automorphic stochastic processes defined in metric spaces; secondly, apply this theory to establish the existence, uniqueness and stability of solutions which are almost automorphic in distribution, in probability, in p-th mean and in almost sure sense, respectively; finally, these results are employed to investigate the existence, uniqueness and stability of ergodic solutions in distribution sense, in probability sense as well as in pth-mean sense. This research would not only contribute to a deep insight into the global dynamics of those systems with important applications, but also help to have a much better understanding of both the stochastic differential equations and random dynamical systems in infinite dimensions.

系统遍历解的适定性和稳定性与系统的整体动力学行为密切相关，是微分方程定性理论和动力系统研究中的一个基本和非常重要的课题。本项目拟利用发展半群理论、随机指数二分性方法和随机分析技巧，研究布朗运动驱动的随机发展方程遍历解的存在性、唯一性和稳定性。我们拟研究如下三个问题：（1）发展度量空间上的几乎自守随机过程理论；（2）利用该理论研究随机发展方程的依分布、依概率、依p-阶矩和几乎必然四种意义下随机几乎自守解的存在性、唯一性和稳定性问题；（3）研究随机发展方程的依分布、依概率和依p-阶矩意义下随机遍历解的存在性、唯一性和稳定性问题。这些问题的研究，不仅有助于我们深刻理解这些具有重要应用背景的系统的整体动力学行为，而且对深入理解和研究无穷维随机微分方程和无穷维随机动力系统也会有重要的帮助。

系统回复解和遍历解的适定性和稳定性与系统的整体动力学行为密切相关，是微分方程定性理论和动力系统研究中的一个基本和非常重要的课题。本项目通过对比分析几乎自守随机过程与概周期随机过程之间的关系，研究了依分布、依概率、依p-阶矩和几乎必然几乎自守随机过程之间的区别与联系，进而建立了度量空间上的几乎自守随机过程理论。利用发展半群理论和随机指数二分性方法研究布朗运动驱动的随机发展方程几乎自守解的存在性和唯一性，并研究了其稳定性态，一定程度上发展了回复解和遍历解的适定性与稳定性理论。利用马利亚万分析技巧研究了由粗糙路径驱动的随机发展方程回复解的适定性，在一些困难的问题上取得了突破，后续工作正在进行之中。对无穷维随机发展方程的各类随机几乎自守解和随机遍历解的不断深入研究，不但可以使我们更好地理解系统的全局结构及其稳定性，而且有助于我们更好地理解自然界中的各种复杂现象和随机机理，将发展和丰富无穷维随机微分方程和无穷维随机动力系统的有关经典理论，并对实际应用产生重要影响。