计算大规模矩阵部分奇异值分解的投影方法

计算大规模矩阵的部分奇异值分解，不仅在数值分析领域具有非常重要的地位，而且在图形图像处理、信号处理及其它应用领域具有广泛的应用，因此，其算法研究具有十分重要的意义。奇异值问题等价于维数增加具有特殊结构的矩阵的特征值问题，而投影方法是解大规模矩阵特征值问题的主要方法，已进行了广泛而深入的研究。但是直接将奇异值问题作为一般的特征值问题来处理，就忽略了其特殊结构，造成难度以及存储量和计算量的极大增加。因此，本项目主要研究：1.如何在充分利用特殊结构的前提下，将解特征值问题的投影方法推广到奇异值问题。2.如何用贾仲孝教授提出的针对特征值问题的精化投影策略推广到奇异值问题来改善方法的收敛性。申请人已做了较好的前期准备工作，相关论文已发表在国际著名学术期刊SISC和SIMAX上，国外同行他引10余次。本项目预期完成学术论文6-8篇，其中SCI、EI检索3-4篇，在部分奇异值分解方面取得较好的成果。

自项目实施以来，项目组成员就计算大规模矩阵部分奇异值分解的投影方法和精化投影方法进行了研究，主要工作如下：. 1. 提出了计算大规模矩阵部分内部奇异组的隐式重新启动的调和Lanczos双对角化方法。分析了方法的收敛性，证明了当Rayleigh商矩阵的逆的范数一致有界且近似奇异值隔离度较好时，近似内部奇异组收敛。结合隐式重新启动技术，提出了隐式重新启动的调和Lanczos双对角化算法，并给出了一种位移选择策略。给出了算法的Matlab实现。数值实验表明，该算法可以用于计算大规模矩阵的内部奇异组，且计算得到的近似奇异值具有较高的精度。成果发表在Applied Mathematics and Computation上，并被美国学者J. Baglama和L. Reichel引用1次。. 2. 研究了E. Kokiopoulou等人提出的计算部分最小奇异组的隐式重新启动的Lanczos双对角化方法（IRLANB)。该方法虽然用需要的精化调和Ritz向量代替调和Ritz向量来改善近似奇异组的收敛性，但是，该方法用不需要的调和Ritz值作为位移来隐式重新启动算法，重新开始后的子空间并没有改变，因此，算法并没有得到本质的改善。项目组充分利用精化调和Ritz向量的信息，重新构造了一种子空间，证明了矩阵在该子空间上的调和Ritz值是不需要的奇异值的更好的近似，用其作为位移可以提高算法的收敛性。数值算例表明，改进后的方法要明显优于原方法。成果发表在Journal of Computational and Applied Mathematics上。. 3. 经典Lanczos双对角化方法是计算大规模矩阵最大奇异组的常用方法。该方法在每次迭代中得到了2m+1个基向量，但是只在其中2m个基向量张成的子空间上提取近似奇异组的信息。项目组针对计算部分最大奇异组的Lanczos双对角化方法，在所有2m+1个基向量张成的子空间上利用极小化残量范数的方法来提取近似奇异组以代替原有近似奇异组，并就隐式重新启动格式设计了新的位移策略。数值算例表明，两方面的改进大大改善了方法的收敛性，计算得到的近似奇异组收敛速度更快且具有更高的精度。成果在第二届工程与计算数学（香港理工大学）上做分组报告。.此外，项目组还利用数值方法做了一些工程应用方面的研究。