基于对偶两步模型的图像放大问题

By using the latest mathematics results of variational methods, PDE and numerical computation, we research image zooming problems in this project which indicates distinctive combinations of science and engineering, and overlapped characteristics between mathematics and information. In this project, we focus on the key issues of the image zooming problems based on two-step models using duality strategies. Main novelties are listed as follows: 1. The image zooming method based on modified LOT model. In the first method, instead of smoothing the normal vector directly as did in the first step of the classical LOT model, we reconstruct the unit normal vector by means of Chambolle's dual formulation. Then, we adopt the split Bregman iteration to obtain the zoomed image in the second step. 2. The image zooming method based on TV-Stokes model using a dual formulation. By imposing the divergence free condition on the tangential vector field, we get a nonlinear TV-Stokes equation in the first step. Furthermore, we adopt dual algorithms in the numerical experiments which will illustrate the efficiency of our proposed methods. The research of this project will have a breakthrough in theory and algorithms. The new image zooming methods are presented with fast computational speed, exhibit a better visual impression and have a very wide range of usage.

本项目利用变分与偏微分方程及其数值计算领域的最新数学成果研究图像放大问题，具有鲜明的理工结合，数学与信息交叉的特色。本项目以解决基于对偶两步模型的图像放大问题中存在的关键问题为目的展开研究，主要创新点如下：1. 基于修正LOT模型的图像放大方法。考虑到Chambolle对偶策略中的对偶变量可以看作图像的法向量, 第一步中，我们通过计算对偶变量来代替经典LOT模型中的光滑化法向量。在第二步中, 我们采用快速的分裂Bregman迭代算法重构所求图像。2. 基于对偶TV-Stokes模型的图像放大方法。结合切向量的零散度条件，在第一步中构造出一个非线性TV-Stokes方程，数值计算中我们采用对偶策略进行求解，进而大幅度提高算法的效率。本项目的研究将在理论上有突破，算法上有创新，新的图像放大方法在运算速度和放大质量上都有提高，将具有更广泛的应用价值。

围绕着项目申请书内容，课题组对基于对偶两步模型的图像放大问题，全局优化问题的启发式算法等问题开展研究工作，取得了一些研究成果，超质超量完成了项目申请书的计划，发表学术论文5篇(含接受待刊)，其中SCI收录3篇，核心期刊收录2篇。研究成果主要有以下几个方面：.1).设计了一种基于TV-Stokes模型的分裂Bregman图像放大算法。第一步，考虑切向量的散度约束为零, 模型转化为一个类Stokes型方程。第二步，我们采用快速的分裂Bregman迭代算法重构放大图像，并用数值实验验证了我们算法的有效性；.2).基于对偶策略，设计了一种基于修正LOT模型的Chambolle对偶图像放大算法。第一步，我们直接计算对偶变量来代替光滑化法向量。第二步，我们采用Chambolle对偶算法重构放大图像；.3).将Qi等人提出的求解张量特征值问题的启发式Cross-Hill算法推广到求解全局优化问题。该启发式算法是局部优化算法与低维全局优化算法的一种组合。每一步迭代，首先使用局部优化信息找到局部解，然后，使用该点与任意正交向量来求解一个二维优化问题，从而寻找更优的解；.4). 基于非精确ADMM算法，设计了两阶段图像分割模型。第一步，先求解凸化的Mumford-Shah模型，得到图像的一个光滑解；第二步，由K-means方法进行图像分割。.总之，我们对项目申请书的部分研究内容进行了深入的探讨和研究，并进行了其他方面的研究工作，为今后的研究工作打下了坚实的基础。