Riemann zeta函数的均值及递推序列的算术性质研究

Research on zero distribution and arithmetic properties of Riemann zeta function is a hot topic of many scholars research in recent years. Erdös proposed some conjectures about the Fibonacci zeta function in the study of some series of irrational judgment. In recent years, many scholars obtained many kinds of combinatorial identities. In this project, we intend to study on the following aspects: 1, By using Levinson's method study the zero distribution of Fibonacci zeta function. By using some inequalities to study the computational problem of Riemann zeta function. 2, By using the polynomial zeros to study the problems of recursive sum and the distribution of remainder, in order to obtain a series of combinatorial identities. We will establish the connection between Riemann zeta function and some important sequences, polynomials , then obtain some identities and strong asymptotic formula.

Riemann zeta函数的均值公式、零点分布及各类算术性质是近年来众多学者研究的热点问题之一，具有重要的理论意义。Erdös在研究级数的无理性判断时提出与Riemann zeta函数相关的级数的猜想，受到数论学者的广泛关注。本项目主要研究以下几方面内容：1、通过Levinson的方法研究零点分布问题，通过构造与自然数相关的不等式研究一些取特殊值时的Riemann zeta 函数的均值计算问题；2、通过多项式理论研究Erdös所建议研究的相关级数的均值问题、余项分布问题，建立相关代数结构构造组合恒等式。本项目的目标是利用余项估计、幂级数环、微分算子等工具将Riemann zeta函数与数论中一些重要的数列、多项式等内容建立起联系，并得到一些均值公式和较强的渐近公式。

Riemann zeta函数的性质尤其是其零点分布是数论研究中最重要的问题之一，Riemann zeta函数可推广为算术级数，即为Fibonacci zeta函数，这样就能建立起Riemann zeta函数与递推序列的联系，对于一般的n阶线性递推序列，众多学者对其算术性质进行了深入研究，并着重考虑其与经典解析数论的联系，近年来多为学者研究了关于Fibonacci数列及其平方的倒数无穷和取整公式，并对这类问题进行了多种形式的推广和研究。本项目主要研究与Riemann zeta函数相关的均值计算问题、以及各类递推序列的倒数和及恒等式构造问题，以及与经典Gauss和相关的均值问题和上界估计，并得到了相应的取整公式和均值计算公式。